Тему завершим небольшим параграфом, в котором изложим применение логики высказываний к анализу так называемых контактных схем.

Контактом будем называть устройство, которое в процессе работы может быть в двух состояниях: контакт может быть замкнут или разомкнут. Контакт Х на чертеже будем изображать следующим образом:

Контакты можно соединять между собой различными способами:

Первое соединение называется параллельным, второе – последовательным. Контакты, соединенные между собой, будем называть контактной схемой. Будем предполагать наличие у схемы двух выделенных точек входа и выхода. Схему назовем замкнутой, если существует последовательность замкнутых контактов Х₁,Х₂,...,Х_n такая, что X_i соединен с Х_i+1, X₁ соединен с входом, Х_n – с выходом. Схему, не являющуюся замкнутой, назовем разомкнутой. Каждому контакту поставим в соответствие высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда контакт замкнут. Высказывание и контакт будем обозначать одной буквой. Пусть схема S построена из контактов Х₁,Х₂,...,Х_n с помощью параллельного и последовательного соединений. Тогда по схеме S можно построить формулу логики высказываний F_S так, что параллельному соединению соответствует дизъюнкция, последовательному – конъюнкция. Например, схеме S₀ соответствует формула

F_S0=X&(ZÚØY)]Ú[ØX&Z]Ú[(XÚØY)&ØZ].

(Через ØV обозначается контакт, который замкнут тогда и только тогда, когда V разомкнут). Формула F_S "представляет схему в следующем смысле: схема S замкнута в том и только в том случае, если Fs принимает значение И. Контактным схемам соответствуют формулы, в построении которых участвуют лишь связки &,Ú,Ø, причем отрицание применяется только к атомарным формулам. Нетрудно понять, что по всякой такой формуле F можно восстановить схему, которую формула F «представляет».

Пусть схемам S и T соответствуют формулы F_S и F_T в описанном выше смысле. Тогда если схемы S и T эквивалентны (т.е. замкнуты и разомкнуты одновременно), то F_S и F_T равносильны, и обратно. Этот факт используется для решения задачи минимизации контактных схем, которая состоит в том, чтобы по данной схеме S найти схему Т, эквивалентную S и содержащую меньше контактов. Один из путей решения этой задачи состоит в переходе к формуле F_S и в отыскании формулы G, равносильной F_S и содержащей меньше вхождений атомарных формул (разумеется, G построена только с помощью &, Ú и Ø, причем Ø применяется лишь к атомарным формулам). Так, например, формула F_S равносильна формуле ХÚ(ØX&Z)Ú(ØY&ØZ). Следовательно, приведенная выше схема эквивалентна следующей схеме

которая состоит на три контакта меньше.