Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Рассмотрим следующие предложения.

А. «Число Ö2 является иррациональным».

Б. «Неверно, что число Ö2 является иррациональным».

В. «Если число Ö2 является иррациональным, то число Ö2+1 также является иррациональным».

Г. «Который час?»

Д. «Идите решать задачу к доске»

Первые три предложения являются высказываниями, последние два – нет. Высказывания А и В истинны, высказывание Б – ложно. Более точно, значение истинности высказываний А и В есть истина, а значение истинности высказывания Б есть ложь. В дальнейшем истину будем обозначать цифрой 1, а ложь – цифрой 0.

Проанализируем высказывания А-В с точки зрения их «внутреннего строения». Высказывание А можно назвать простым. А высказывания Б и В – составными, полученными из простых высказываний А и E=«число Ö2+1 является иррациональным». Этот простой пример показывает, что в языке (в данном случае, в русском языке) существуют способы построения одних высказываний из других. Эти способы мы будем называть операциями. В естественных языках (в том числе и в русском языке) существует много таких операций. Мы выделим в качестве основных пять операций.

Определение. Пусть X и Y – некоторые высказывания. Тогда высказывания:

1) «X и Y» называется конъюнкцией высказываний X и Y;

2) «X или Y» называется дизъюнкцией высказываний X и Y;

3) «не X» называется отрицанием высказывания X;

4) «если X, то Y» называется импликацией высказываний X и Y;

5) «X тогда и только тогда, когда Y» называется эквиваленцией высказываний X и Y.

Высказывание Б из вышеприведенного примера является отрицанием высказывание А, а высказывание В – импликацией высказываний А и Е. Введем следующие обозначения для операции: & – конъюнкция, Ú – дизъюнкция, Ø – отрицание, ® – импликация, « – эквиваленция. Так, Б=ØА, В=А®Е. Символы &, Ú, Ø, ®, « называются связками.

Зависимость значения истинности новых высказываний определяется таблицей истинности связок – таблицей 1.1.

Таблица 1.1

Более точно, таблица 1.1 содержит пять таблиц истинности, по одной для каждой из связок. Эти пять таблиц для удобства объединены в одну.

Прокомментируем таблицы истинности дизъюнкции и импликации. В русском языке союз «или» понимается в двух смыслах: разделительном – или то, или другое, но не оба, и соединительном – или то, или другое, или оба. Как мы видим из таблицы 1.1 мы союз «или» будем понимать в соединительном смысле. Перейдем к импликации. Если дана импликация X®Y, то высказывание X называется посылкой импликации, а Y – заключением. Если посылка X импликации ложна, то вся импликация X®Y истинна (см. третью и четвертую строки таблицы 1.1). Это свойство импликации часто формулируют в виде следующего принципа: «из ложного утверждения(имеется в виду X) следует все что угодно (имеется в виду Y)». В силу этого следующее высказывание «если 2×2=5, то p – иррациональное число» является истинным, поскольку оно представляет собой импликацию, посылка которой ложна. Подчеркнем, что при этом не надо искать доказательство или опровержение того, что p – иррациональное число. Аналогично, первая и третья строки таблицы 1.1 показывают нам. Что если заключение Y импликации истинно, то вся импликация X®Y также истинна. Это свойство импликации тоже формулируют в виде принципа: «истинное утверждение (имеется в виду Y) следует из чего угодно (имеется в виду X)». Из этого принципа сразу следует истинность высказывания «если p – иррациональное число, то 2×2=4», поскольку оно представляет собой импликацию с истинным заключением.