1. Приведем решение задачи 1д. Рассмотрим множество T={F₁,F₂,ØG}. Каждую из формул этого множества приведем к КНФ, получим соответственно ØXÚØY, ØXÚYÚZ, X&ØZ. Тогда S равно {ØXÚØY,ØXÚYÚZ,X,ØZ}, а вывод пустого дизъюнкта есть ØXÚØY, X, ØØY, ØXÚYÚZ, ØXÚZ, Z, ØZ, □.

2. Приведем решение задачи 2.1. Рассмотрим высказывания: Х=«конгресс отказывается принять законы», Y=«забастовка не будет закончена», Z=«забастовка длится более месяца», U=«президент фирмы уйдет в отставку». Тогда предложения рассуждения 2.1 можно представить формулами F₁=X®YÚ(Z&U), F₂=X&ØY, G=Z. Сформируем множество T={F₁,F₂,ØG}, каждую из формул приведем к КНФ и получим множество дизъюнктов S={ØXÚYÚZ, ØXÚYÚU,X,ØY,ØZ}. Легко выдеть, что из S выводим □. Следовательно, рассуждение логично.

В задачах 2.4 и 2.5 рассуждение логично, а в задачах 2.2 и 2.3 – нелогично.

4. Указание. Воспользоваться алгоритмом унификации.

5. Дизъюнкт 5а имеет склейку, остальные не имеют.

6. Дизъюнкт в задаче 6б не имеет резольвент, в задаче 6а дизъюнкты имеют одну резольвенту Q(a,b), в задаче 6в – четыре ØP(a)ÚØQ(y,f(b))ÚQ(c,f(v)), ØP(x)ÚØQ(e,f(b))ÚQ(c,f(v)), ØP(x)ÚØP(a)ÚP(u), ØQ(y,f(b))ÚQ(c,f(v)).

7. В задаче 7б H₀={a}, H₁={a,b,g(a),g(b)}, H₂={a,b,g(a),g(b),g(g(a)),g(g(b))}.

8. На рис. 4.9 изображены семантические деревья для S₁, на рис. 4.11 – для S₃. На рис. 4.10 изображено семантическое дерево для S₂. (Эти множества дизъюнктов имеют и другие семантические деревья).

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Рис. 4.11

9. Невыполнимое множество основных примеров есть

S₁^/={P(f(a),a,g(f(a),b),ØP(g(a),a,g(f(a,b)},

S₂^/={P(a),ØD(b)ÚÚL(a,b),ØP(a)ÚØQ(b)ÚØL(a,b),D(b),Q(b)},

S₃^/={ØK(a,b)ÚØL(b)ÚM(f(a)),ØK(a,b)ÚØL(b)ÚN(a,f(a)),ØM(f(a)),K(a,b),L(b)}.

10. Приведем решение задачи 10в. Составим множество {F₁,F₂,F₃,ØG}. Каждую из формул приведем к сколемовской нормальной форме. Получим соответственно формулы

H₁=("x)[(ØP(x)ÚQ(f(x))&(ØP(x)ÚS(x,f(x))],

H₂=("y)[(R(a)ÚØQ(y))&(R(a)ÚØS(a,y))],

H₃=P(b),

H₄=("x)(P(x)ÚØR(x)).

Множество S будет состоять из семи дизъюнктов: S={ØP(x)ÚQ(f(x)), ØP(x)ÚS(x,f(x)), R(a)ÚØQ(y), R(a)ÚØS(a,y)), P(b), P(x),ØR(x)}. Выводом пустого дизъюнкта будет последовательность

D₁=ØP(x)ÚQ(f(x)), D₂=P(x), D₃=Q(f(x)), D₄=ØR(x), D₅=R(a)ÚØQ(y), D₆=ØQ(y), D₇=□.

Отметим, что D₃ следует по правилу резолюций из D₁,D₂, D₆ – из D₄ и D₅, а D₇ – из D₃ и D₆. Дизъюнкты D₁,D₂,D₄,D₅ принадлежат S.

11. Приведем решение задачи 11.2. Пусть символы одноместных предикатов F,G и S интерпретируются следующим образом

F(x): «х – болельщик «Спартака»,

G(x): «х – студент нашей группы»,

S(x): «х – спортсмен».

Тогда рассуждение 11.2 можно представить формулами:

F=("x)(G(x)®F(x))&($y)(G(y)&S(y)),

G=($x)(F(x)&S(x)).

Составим множество формул {F,ØG} и каждую из них приведем к сколемовской нормальной форме. Получим формулы

H₁=("x)(ØG(x)ÚF(x))&G(a)&S(a)

H₂=("x)(ØF(x)ÚØS(x)).

Множество дизъюнктов S равно {ØG(x)ÚF(x),ØF(x)ÚØS(x),G(a),S(a)}. Пустой дизъюнкт из множества S выводится очевидным образом.

12. Рассуждения 12.1, 12.4 логичны, остальные рассуждения нелогичны.