Как и в логике высказываний, в логике первого порядка вводятся нормальные формы. Мы рассмотрим две из них: предваренную нормальную и сколемовскую нормальную формы.

Определение. Формула G имеет предваренную нормальную форму (сокращенно: ПНФ), если

G(Q₁,x₁)…(Q_n,x_n)H,

где Q₁,…,Q_n кванторы, а формула H не содержит кванторов.

Например, формула ("x)($y)(P(x,y)&ØQ(y)) имеет предваренную нормальную форму, а формула Ø("x)(T(x)&S(x,y)) не имеет.

Теорема 3.3. Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая предваренную нормальную форму.

Доказательство теоремы легко следует из анализа алгоритма приведения к ПНФ.

Алгоритм приведения к предваренной нормальной форме

Шаг 1. Используя законы 21 и 20, исключить эквиваленцию и импликацию.

Шаг 2. Занести отрицание к атомарным формулам, пользуясь законами 17-19 и 26-27.

Шаг 3. С помощью законов 22-23, 28-31 вынести кванторы вперед, используя при необходимости переименование связанных переменных (законы 32-33).

Рассмотрим пример. Пусть

F=("x)P(x)®($y)("z)(P(y)&Q(y,z)).

Выполнив шаг 1 (с помощью закона 20), получим формулу

F₁=Ø("x)P(x)Ú($y)("z)(P(y)&Q(y,z)).

С помощью закона 26 перейдем к формуле

F₂=($x)ØP(x)Ú($y)("z)(P(y)&Q(y,z)).

Тем самым, шаг 2 также выполнен. Применим закон 30 слева направо Q₁=$, Q₂=$, u=y, получим формулу

F₃=($x)($y)[ØP(x)Ú("z)(P(y)ÚQ(y,z))].

(Пользуемся тем, что ØP(x) не содержит y, а ("z)(P(y)&Q(Y,z)) не содержит х. Так как формула ØP(x) не содержит z, то применение закона 26 слева направо дает формулу

F₄=($x)($y)("z)[ØP(x)ÚÚ(P(y)&Q(y,z))].

Это и есть искомая формула, имеющая ПНФ и равносильная формуле F.

В предыдущем примере выполнение шага 3 можно организовать по-другому. В формуле F₂ связанную переменную y заменим на переменную х (закон 33), получим формулу

F₃^/=($x)ØP(x)Ú($x)("z)(P(x)&Q(x,z)).

Используя закон 23, перейдем к формуле

F₄^/=($x)[ØP(x)Ú("z)(P(x)&Q(x,z))].

Затем, как и в предыдущем абзаце, с помощью закона 28 вынесем квантор по z за квадратную скобку. Получим формулу

F₅^/=($z)("z)[ØP(x)Ú(P(x)&Q(x,z)].

Формула F₅^/, как и формула F₄, имеет предваренную нормальную форму и равносильна формуле F. В некоторых ситуациях формула F₅^/ предпочтительнее формулы F₄, поскольку содержит меньше кванторов. (Кстати, бескванторную часть формулы F₅^/ можно упростить).

Перейдем к изучению сколемовской нормальной формы. Отметим вначале, что в логике первого порядка понятие конъюнктивной нормальной формы вводится точно так же, как и в логике высказываний. Сохраняется полностью алгоритм приведения к КНФ и утверждение теоремы 1.3.

Определение. Формула G имеет сколемовскую нормальную форму (сокращенно: СНФ), если

G=("x)…("x_n)H,

где формула Н не содержит кванторов и имеет конъюнктивную нормальную форму.

Например, формула ("x)[P(x)Ú(P(y)&Q(x,y)] имеет сколемовскую нормальную форму, а формулы ("x)($y)Q(x,y), ("x)[P(x)&(P(y)ÚQ(x,y)] не имеют.

В отличие от предыдущего случая предваренной нормальной формы мы здесь вначале рассмотрим алгоритм приведения к СНФ, а затем сформулируем теорему.

Алгоритм приведения к сколемовской нормальной форме

Шаг 1 – Шаг 3 – те же, что и в предыдущем алгоритме.

Шаг 4. Бескванторную часть привести к конъюнктивной нормальной форме (алгоритм описан в §5 темы 1).

Шаг 5. Исключить кванторы существования. Этот шаг изложим на примере. Пусть после выполнения четвертого шага имеем формулу

F=($x)("y)($z)("u)($v)H(x,y,z,u,v),

где Н – не содержит кванторов. Предположим, что формула не содержит константы с, символов одноместной функции f и двухместной функции g. Тогда в формуле Н заменим х на с, z – на f(y), v заменим на g(y,u). Все кванторы существования вычеркнем. Получим формулу

G=("y)("u)H(c,y,f(y),u,g(g,u)).

Это и есть результат выполнения шага 5.

Приведем пример приведения к СНФ. Пусть

F=($x)("y)[P(x,y)®($z)(Q(x,z)&R(y))].

Применяя законы 20 и 23, получаем формулу

F₁=($x)("y) )($z)[ØP(x,y)Ú(Q(x,z)&R(y))].

Она имеет предваренную нормальную форму. Используя закон 12 приводим бескванторную часть к КНФ:

F₂=($x)("y) )($z)[ØP(x,y)Ú(Q(x,z)&(ØP(x,y)Ú(R(y))].

Сделаем подстановку x=a, z=f(y), получим искомую формулу

G=("y)[(ØP(a,y)ÚQ(a, f(y)))&(ØP(a,y) )ÚR(y))].

Теорема 3.4. Для всякой формулы F существует формула G, имеющая сколемовскую нормальную форму и одновременно выполнимая (или невыполнимая) с F.

Доказательство. Пусть G – результат работы алгоритма приведения к СНФ. То, что результатом работы алгоритма является формула в сколемовской нормальной форме, ясно из описания алгоритма. Формула, которая получается после выполнения шагов 1-4 равносильна исходной, и в частности, одновременно выполнима или не выполнима.

Проанализируем шаг 5. Предположим вначале, что исключается квантор существования, впереди которого нет кванторов общности. Можно считать, что это первый квантор в записи формулы; т.е. E(u₁,…,u_n)=($y)E′(y,u₁,…,u_n). (Формула E′ может содержать кванторы.) Рассмотрим интерпретацию j с областью М, при которой формула E выполнима. Выполнимость означает, что найдутся элементы а₁,…,a_nÎM такие, что высказывание (jE)(a₁,…,a_n) или (что тоже самое) высказывание ($y)(jE′)(y,a₁,…,a_n) истинно. Отсюда следует, что существует элемент bÎM такой что высказывание (jE′)(b,a₁,…,a_n) также истинно. Исключение квантора существования по y на пятом шаге приводит к формуле D=E′(c,u₁,…,u_n), где c – константа, отсутствующая в E′. Расмотрим интерпретацию y, которая совпадает с j на всех символах предикатов и функций, входящих в запись формулы F, и y(с)=b. Тогда (yD)(a₁,…,a_n)=(jE′)(b,a₁,…,a_n). Мы доказали, что если формула E выполнима, то выполнима и формула D.

Предположим теперь, что выполнима формула D(u₁,…,u_n)=E′(c,u₁,…,u_n). Это означает, что существует интерпретация y с областью М и элементы а₁,…,a_nÎM такие, что высказывание (yE′)(y(c),a₁,…,a_n) истинно. Но отсюда следует истинность высказывания ($y)(yE′)(y,a₁,…,a_n). Следовательно, формула E(u₁,…,u_n) выполнима. Мы доказали, что из выполнимости формулы D следует выполнимость формулы E.

Рассмотрим теперь случай, когда исключается квантор существования, впереди которого есть k кванторов общности, т.е.

E(u₁,…,u_n)=("x₁)…("x_k)($y)E^/(x₁,…,x_k,y,u_1,…,u_n).

(Формула E^/ может содержать кванторы). Исключение квантора по у на шаге 5 приведет к формуле

D(u₁,…,u_n)>("x₁)…("x_k)E(x₁,…,x_k,f(x₁,…,x_k),u₁,…,u_n),

где f – символ k–местной функции, не содержащийся в Е. Предположим, что формула Е выполнима. Выполнимость означает существование интерпретации j областью М и элементов a₁,…,a_nÎM таких, что высказывание (jE(a₁,…,a_n) истинно. Истинность этого высказывания означает, что для любых элементов x₁,…,x_kÎM найдется элемент yÎM такой, что высказывание E^/( x₁,…,x_k,y,a₁,…,a_n) истинно. Если для данных элементов x₁,…,x_k таких элементов y несколько, то зафиксируем один. Тем самым мы определили на М функцию i:Mx…xM®M такую, что высказывание

(jE′)(x₁,…,x_k,i(x₁,…,x_k),a₁,…,a_n

истинно для всех x₁,…,x_kÎM. Рассмотрим интерпретацию y, которая совпадает с j на всех символах функций и предикатов, входящих в запись формулы Е, и (yf)( x₁,…,x_n)=i(x₁,…,x_n). Тогда

(yD)(a₁,…,a_n)=("x₁)…("x_k)(jE^/)(x₁,…,x_k,i(x₁,…,x_k),a₁,…,a_n),

последнее высказывание, как мы видели истинно. Следовательно, формула D(u₁,…,u_n) выполнима. Мы показали, что из выполнимости формулы Е следует выполнимость формулы D.

Пусть выполнима формула D. Это означает, что существует интерпретация y с областью М и элементы a₁,…,a_nÎM такие, что высказывание (yD)(a₁,…,a_n) или (что то же самое) высказывание ("x₁)…("x_k)(yE^/)( x₁,…,x_k,(yf)(x₁,…,x_k),a₁,…,a_n) истинно. Отсюда следует, что для любых x₁,…,x_k найдется y (равный (jf)( x₁,…,x_k)) такой, что высказывание (yE^/)(x₁,…,x_k,y,a₁,…,a_n) истинно. Следовательно, истинно высказывание ("x₁)…("x_k)($y)(yE^/)( x₁,…,x_k,y,a₁,…,a_n), т.е. высказывание (yE)(a₁,…,a_n). Мы доказали, что из выполнимости формулы D следует выполнимость формулы Е.

Теорема доказана.