Дискретная математика

Раздел 1. Математическая логика

Тема 1. Логика высказываний

Тема 2. Булевы функции

Тема 3. Логика предикатов

Логика высказываний обладает довольно слабыми выразительными возможностями. В ней нельзя выразить даже очень простые с математической точки зрения рассуждения. Рассмотрим, например, следующее умозаключение. «Всякое целое число является рациональным. Число 2 – целое. Следовательно, 2 – рациональное число». Все эти утверждения с точки зрения логики высказываний являются атомарными. Средствами логики высказываний нельзя вскрыть внутреннюю структуру и поэтому нельзя доказать логичность этого рассуждения в рамках логики высказываний. Мы рассмотрим расширение логики высказываний, которое называется логика предикатов первого порядка или короче: логика первого порядка.

§1. Предикаты и операции над ними

§2. Формулы логики первого порядка

§3. Интерпретация в логике первого порядка

§4. Равносильность, законы логики первого порядка

Общая схема изложения материала этого и двух следующих параграфов будет напоминать изложение материала в §3-5 темы 1.


Определение. Формулы F(x1,…,xn) и G(x1,…,xn) называются равносильными, если для любой интерпретации j с областью М высказывания (jF)(a1,…,an) и (jG)(a1,…,an) при любых a1,…,an из М одновременно истинны или одновременно ложны.

Пусть F(x)=Ø("y)P(x,y), G(x)=($y)ØP(x,y), где Р – символ двухместного предиката. Докажем, что формулы F(x) и G(x) равносильны. Возьмем интерпретацию j с областью М. Пусть высказывание (jF)(a) истинно для aÎM. Истинность этого высказывания одначает, что не для всякого yÎM высказывание (jP)(a,y) истинно. Следовательно, найдется bÎM, для которого высказывание (jP)(a,b) ложно. Если высказывание (jP)(a,b), ложно, то высказывание Ø(jP)(a,b) истинно. Отсюда следует, что найдется yÎM такой, для которого высказывание Ø(jP)(a,y) истинно. Это означает истинность высказывания (jG)(a). Итак, мы доказали, что если высказывание (jF)(a) истинно, то высказывание (jG)(a) тоже истинно. Обратная импликация доказывается аналогично. Значения истинности высказываний (jF)(a) и (jG)(a) при любом aÎM совпадают. Следовательно, формулы F(x) и G(x) равносильны.


Определение. Формула F(x1,…,xn) называется тождественно истинной, если для любой интерпретации j с областью М высказывание (jF)(a1,…,an) при любых a1,…,an из М является истинным.

Как и в случае логики высказываний. Приведем список основных равносильностей – законов логики предикатов. Прежде всего, получим законы логики предикатов из законов 1–21 логики высказываний, понимая под F,G,H – произвольные формулы логики предикатов. Дополним полученный список законами, специфичными для логики предикатов


22) ("x)(F(x)&G(x) равносильна ("x)(F(x)&("x)G(x),

23) ($x)(F(x)ÚG(x) равносильна ($x)F(x)Ú($x)G(x),

24) ("x)("y)F(x,y) равносильна ("y)("x)F(x,y),

25) ($x)($y)F(x,y) равносильна ($y)($x)F(x,y),

26) Ø("x)F(x) равносильна ($x)ØF(x),

27) Ø($x)F(x) равносильна ("x)ØF(x).


Законы 21,22 утверждают, что квантор общности можно переносить через конъюнкцию, а квантор существования через – дизъюнкцию. Естественно поставить вопрос, можно ли квантор существования переносить через конъюнкцию, а квантор общности – через дизъюнкцию. Другими словами, будут ли равносильны следующие пары формул


("x)(F(x)ÚG(x) и ("x)(F(x)Ú("x)G(x)

($x)(F(x)&G(x) и ($x)(F(x)& ($x )G(x) ?


Оказывается нет. Докажем это для случая, когда F(x) и G(x) – атомарные формулы. Пусть основное множество – множество натуральных чисел N, F(x) – предикат «x – четное число» , G(x) – предикат «x – нечетное число». Обозначим эту интерпретацию буквой j. Тогда j("x)(F(x)ÚG(x))]=1, но j[("x)F(x)Ú("x)G(x)=0. Аналогично, j($x)(F(x)&G(x))]=0 и j($x)F(x)&($x)G(x)]=1.


Рассмотрим законы 23 и 24. Они утверждают, что одноименные кванторы можно менять местами. Можно ли переставлять местами разноименные кванторы, сохраняя равносильность. Другими словами, равносильны ли формулы


("x)($y)(F(x,y) и ($y)("x)F(x,y)?


Оказывается, тоже нет. В качестве основного множеств авозьмнм опять множнство натуральных чисел, F(x,y) будем считать атомарной формулой и поставим ей в соответствие предикат «x меньше y». Тогда левая формула будет истинной, правая – ложной.


Вернемся к законам 21 и 22. Мы отмечали, что квантор существования – через конъюнкцию. Тем не менее, если одна из формул F или G не содержит переменной x, то это делать можно. Запишем соответствующие законы:


28) ("x)(F(x)ÚG) равносильна ("x)(F(x)ÚG,

29) ($x)(F(x)&G) равносильна ($x)(F(x)&G, где G не содержит x.


Законы 21, 22, 28, 29 можно записать в общем виде:

30) (Q1x)(Q2z)(F(x)ÚG(z)) равносильна (Q1x)F(x)Ú(Q2z)G(z)

31) (Q1x)(Q2u)(F(x)&G(u)) равносильна (Q1x)F(x)&(Q2u)G(u),

где Q1, Q2 кванторы V или Э, u не входит в F(x), а x не входит в G(u). Для доказательства равносильности двух формул могут оказаться полезными следующие законы:

Рассмотрим формулу F(x)=("y)P(x,y)®P(x,c), где P – символ двухместного отношения, с – константа. Докажем, что формула F(x) тоэждественно истинна. Возьмем интерпретацию j с областью М и элемент а из М. Высказывание (jF)(a) равно ("y)(jP)(a,y)®(jP)(a,j(c)). Если посылка ("y)(jP)(a,y) ложна, то вся импликация (jF)(a) истинна. Предположим, что посылка ("y)(jP)(a,y) истинна. Это означает, что для всякого yÎM высказывание (jP)(a,y) истинно, в том числе истинно это высказывание и для y=j(c). Следовательно, истинно заключение (jP)(a,j(c)) и вся импликация (jF)(a). Мы доказали, что высказывание (jF)(a) истинно для любого aÎM. Это означает, что формула F(x) является тождественно истинной.


Понятия равносильности и тождественной истинности в логике первого порядка связаны точно так же, как и в логике высказываний.


Теорема 3.1 Формулы F(x1,…,xn) и G(x1,…,xn) равносильны тогда и только тогда, когда формулы F(x1,…,xn)«G(x1,…,xn) тождественно истинны.

Доказательство теоремы 3.1 аналогично доказательству теоремы 1.1 и поэтому не приводится


32) ("x)F(x) равносильна ("z)F(z),

33) ($x)F(x) равносильна ($z)F(z).

В законах 32 и 33 переменная z не входит в F(x), а переменная x не входит в F(z).


В логике высказываний мы применяли два способа доказательства равносильности формул: построение совместной таблицы истинности и переход от одной формулы к другой с помощью законов. В случае логики первого порядка остается только второй способ.

Проиллюстрируем его на примере следующей задачи: доказать равносильность формул:


F=Ø("x)($y)[S(x)&P(x,y)®($z)(T(z)&P(x,z))]

G=($x)("y)[S(x)&P(x,y)&("z)(T(z)®ØP(x,z))].


Применим к формуле F последовательно законы 26, 27 и 20, получим, что формула F равносильна формуле


F1=($x)("y)Ø[Ø(S(x)&P(x,y))Ú($z)(T(z)&P(x,z))].


Далее, используя закрны 18,19 и 27 из F1, получим формулу


F2=($x)("y)[S(x)&P(x,y)&("z)Ø(T(z)&P(x,z))].


Осталось заметить, что в силу законов 17 и 20 в формуле F2 подформулу Ø(T(z)&P(x,z)) можно заменить на T(z)®ØP(x,z).


Подчеркнем, что доказательство равносильности двух формул будем проводить с помощью законов логики первого порядка. Доказательство того, что формулы неравносильны, будем осуществлять построением интерпретации, при которой одна формула истинна, другая ложна. Например, так, как это было сделано выше для доказательства неравносильности формул ("x)(F(x)ÚG(x)) и ("x)F(x)Ú("x)G(x). Разумеется, до построения интерпретации формулы можно предварительно преобразовывать с помощью законов.

§6. Логическое следствие

§7. Нормальные формы

§8. Невыразимость в логике первого порядка

§9. Многосортная логика первого порядка

Задачи

Ответы, указания и решения

Тема 4. Метод резолюций

Раздел 2. Теория графов

Тема 5. Раскраски

Тема 6. Ориентированные графы и сети


Fair.ru Ярмарка сайтов
Rambler's Top100 Submitter.ru - Free promoting

Дизайн: Alex © 2002
Все вопросы и предложения можно направлять по адресу cad@mail.ustu.ru